Introducción:


La trigonometría es la rama de las matemáticas que se dedica a calcular los elementos de los triángulos, para esto se encarga de relacionar lados y ángulos; el triángulo más común que se utiliza para el estudio de la trigonometría es el triangulo rectángulo.


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Índice:

I. Definición.

II. Funciones Trigonométricas.

III. Identidades Trigonométricas.

IV. Definición de las funciones trigonométricas con base en un triángulo rectángulo. (Explicar con un ejemplo)

V. Valor de las funciones trigonométricas para ángulos cuadrantales y especiales 30o, 60 o, 90o (Presentar tabla)


Trigonometría


¿Qué es?

La palabra trigonometría proviene del griego TRIGONO que significa "triángulo" y METRÍA "medida". Esta rama de las matemáticas, basa su estudio en la medición de las formas geométricas conocidas como triángulos, estudiando las relaciones de los ángulos y lados.

ORIGEN DE LA TRIGONOMETRÍA


La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes, han requerido el cálculo de distancias cuya medición directa no resultaba posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Así que para poder resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron a la trigonometría; a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. Por ejemplo, la distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima.El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras. "1"

CONCEPTOS BÁSICOS

Conceptos básicos de Trigonometría
La persona a la cual se le considera el padre de la trigonometría es Hiparco, astrónomo, matemático y geógrafo griego (190-120 a.C); siendo por su estudio y descubrimiento de relaciones entre los lados y los ángulos de un triangulo, la pieza clave para la trigonometría.

ÁNGULOS.

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CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS

Existen dos clasificaciones:

A) Por su Magnitud.

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B) Por su Posición.

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TIPOS DE ANGULOS

Los ángulos forman 3 tipos que van relacionados con el número de grado al que forman, siendo estos:

Ángulos Complementarios: Son dos o mas ángulos que al sumarlos su resultado es igual a 90°
Ángulos suplementario: Son dos o mas ángulos que al sumarlos su resultado es igual a180°
Ángulos conjugados: Son dos o mas ángulos que al sumarlos su resultado es igual a 360°

ÁNGULOS INTERNOS Y EXTERNOS

Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante

estos se complementan con la representación de dos rectas y una secante, a raíz de esto se forman dos tipos de ángulos que son Ángulos internos y Ángulos externos.

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Diapositiva2.GIF
Diapositiva3.GIF



Ángulos consecutivos.
Son dos ángulos, uno interno y otro externo, que están situados uno detrás de otro.
Por ejemplo:
Son consecutivos a y e
Son consecutivos "b" y "f"

Diapositiva5.GIFDiapositiva4.GIF
Así que podemos concluir con el dibujo que a=e y a su vez b=f

Otro ejemplo es:

Diapositiva6.GIFDiapositiva7.GIF

Son consecutivos c y g
Son consecutivos d y h

Por lo que c=g y d=h

Ángulos alternos internos.

Son dos ángulos internos situados a uno y otro lado de la secante y en distinta paralela.
Por ejemplo:
Son alternos internos c y f. Son alternos internos e y d.
  • por lo tanto c=f
  • por lo tanto e=d
Diapositiva8.GIFDiapositiva9.GIF

Ángulos alternos externos.



Son dos ángulos externos situados a uno y otro lado de la transversal y en distinta paralela.
Por ejemplo:
Son alternos externos a y h Son alternos externos b y g
  • por lo tanto a=h
  • por lo tanto b=g

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Ángulos colaterales.


Son dos ángulos internos o dos ángulos externos, situados en un mismo lado de la transversal y en distinta paralela. Cuando los dos ángulos son internos, se les llama colaterales internos; si son externos, se les llama colaterales externos.
Son colaterales internos d y f , c y e

Diapositiva12.GIFDiapositiva13.GIF

Son colaterales externos a y g , b y h

Diapositiva14.GIFDiapositiva15.GIF




A continuación, estudiaremos los ángulos que contienen los triángulos

    • Agudos

    • Son aquellos ángulos que miden más de 0º pero menos de 90º. Son característicos de los triángulos acutángulos.
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    • Rectos
      Son aquellos ángulos que miden 90º. Son característicos de los triángulos rectángulos.


    • Obtusos

    • Son aquellos ángulos que miden más de 90º pero menos de 180º. Son característicos de los triángulos obtusángulos.
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TRIÁNGULOS


El triángulo es el polígono más simple y también el más fundamental, ya que cualquier polígono puede resolverse en triángulos; por ejemplo, trazando todas las diagonales a partir de un vértice, o más en general, uniendo todos los vértices con un mismo punto interior al polígono. Por otra parte, un tipo particular de triángulos, los triángulos rectángulos, se caracterizan por satisfacer una relación métrica (el llamado teorema de Pitágoras) que es la base de nuestro concepto de medida de las dimensiones espaciales.
  • CLASIFICACIÓN POR LADOS

Triángulo equilátero
Triángulo equilátero
Triángulo equilátero: Tres lados iguales.

Triángulo isósceles
Triángulo isósceles
Triángulo isósceles: Dos lados iguales.

Triángulo escaleno
Triángulo escaleno
Triángulo escaleno:
Tres lados desiguales





  • CLASIFICACIÓN POR ÁNGULOS

  • Acutángulo**

  • Un triángulo que tiene sus tres ángulos agudos (mayor que 0º pero menor que 90º) se llamaacutángulo.

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    • Rectángulo

  • Cuando uno de los ángulos es recto (igual a 90º), se llama rectángulo.

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    • Obtusángulo


  • Tiene un angulo obtuso
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referencias:
http://docencia.izt.uam.mx/sgpe/files/users/uami/mmac/Angulos.pdf
http://www.vitutor.com/geo/eso/as_1.html

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS



===La razón es la comparación por cociente de dos magnitudes de la misma especie; por lo tanto, se trata de un número abstracto.===
Dado un ángulo agudo, tomemos un punto cualquiera sobre uno de sus lados; por ejemplo, el punto M, situado sobre el lado OM (O es el vértice). Si por M trazamos una perpendicular, que cortará al otro lado del ángulo, en el punto S, quedan determinados tres segmentos, los cuales forman un triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo, al lado más grande (el que está frente al ángulo de 90º) se le denomina hipotenusa, y a los otros dos lados se les llama catetos. Con los tres segmentos definidos, se pueden obtener seis razones distintas, que son:


  • Seno:

  • Se obtiene dividiendo el cateto opuesto entre la hipotenusa.
  • Coseno:

  • Se obtiene dividiendo el cateto adyacente entre la hipotenusa.
  • Tangente:

  • Se obtiene dividiendo el cateto opuesto entre el cateto adyacente.
  • Cotangente:

  • Se obtiene dividiendo el cateto adyacente entre el cateto opuesto.
  • Secante:

  • Se obtiene dividiendo la hipotenusa entre el cateto adyacente.
  • Cosecante:

  • Se obtiene dividiendo la hipotenusa entre el cateto opuesto.


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DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS




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Seno

El seno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la relación de la longitud del lado opuesto al ángulo con la hipotenusa. Generalmente seno se abrevia como sen.

Coseno
El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón de la longitud del cateto adyacente al ángulo a la longitud de la hipotenusa. Por lo general, coseno se abrevia como cos.

Tangente
La tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la relación de la longitud del lado opuesto al ángulo a la del cateto adyacente. Por lo general, tangente se abrevia como tan.

Cotangente
Función trigonométrica de un ángulo, igual al recíproco de su tangente, es decir, es igual a la razón de la longitud del cateto adyacente al ángulo y la del cateto opuesto en un triángulo rectángulo.
Secante
Función trigonométrica de un ángulo, igual al recíproco de su coseno, es decir, es igual a la relación de la longitud de la hipotenusa con el lado adyacente al ángulo. Generalmente, secante se abrevia como sec.
Cosecante
Se define como el inverso a seno.



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300px-Tri-trigo.png


Las funciones son las siguientes:


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Ejemplo:


Dado que mimetex_(15).gif
y
mimetex_(16).gif

Encuentra los demás valores de las funciones trigonométricas:

mimetex_(1).gif= mimetex.gif= mimetex_(17).gif

mimetex_(4).gif=mimetex_(5).gif=mimetex_(6).gif

mimetex_(8).gif= mimetex_(9).gif= mimetex_(10).gif

mimetex_(12).gif= mimetex_(13).gif= mimetex_(14).gif
Y en un problema de aplicación de las funciones trigonométricas, en donde faltan varios ángulos y medidas del triángulo, basta con ordenar los datos que tenemos y observar nuestras fórmulas para ver que valores podemos sustituir y hallar los faltantes.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.


Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen Funciones Trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2α es (sen α)2.

A continuación se muestran las identidades trigonométricas fundamentales y cómo convertir de una a otra.
identidades


Ejemplos
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De las definiciones de las funciones trigonométricas:

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Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más.

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Y la recíproca de la expresión anterior es:

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VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Valor de las Funciones Trigonométricas.
Las funciones trigonométricas surgen de estudiar un triangulo rectángulo y observar que la razones entre las longitudes de dos de sus lados no importando cual sea que solo dependen del valor de los ángulos del triangulo.
Al estar definidas la funciones: seno, coseno y tangente dan lugar a las funciones trigonométricas; seno coseno y tangente.

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Definición de las funciones trigonométricas con base en un triángulo rectángulo.


Cómo ya se ha visto anteriormente, las funciones trigonométricas son el SENO (sin), COSENO (cos), TANGENTE (tan), la COTANGENTE (cot) es la contraria de tangente, la SECANTE (sec) es la contraria de coseno Y COSECANTE (csc) es contraria de seno.

Las fórmulas para realizar las funciones trigonométricas son las siguientes, y como se podrá observar, las variables de las fórmulas son el cateto OPUESTO, el cateto ADYACENTE y la HIPOTENUSA, las cuales se pueden obtener mediante un triángulo.

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cot alpha = frac {{ color{Blue}textrm{adyacente}}} {{ color{ForestGreen}textrm{opuesto}}} = frac {b} {a}.
cot alpha = frac {{ color{Blue}textrm{adyacente}}} {{ color{ForestGreen}textrm{opuesto}}} = frac {b} {a}.
sec alpha = frac {{ color{Red}textrm{hipotenusa}}} {{ color{Blue}textrm{adyacente}}} = frac {h} {b}.
sec alpha = frac {{ color{Red}textrm{hipotenusa}}} {{ color{Blue}textrm{adyacente}}} = frac {h} {b}.
csc alpha = frac {{ color{Red}textrm{hipotenusa}}} {{ color{ForestGreen}textrm{opuesto}}} = frac {h} {a}.
csc alpha = frac {{ color{Red}textrm{hipotenusa}}} {{ color{ForestGreen}textrm{opuesto}}} = frac {h} {a}.

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Como se puede observar en la imagen, existe un ángulo (a), del cual partiremos para identificar las variables de las fórmulas de las funciones trigonométricas.

El lado del triángulo que se encuentra frente al ángulo será el cateto OPUESTO, el lado más cercano al ángulo será el cateto ADYACENTE, y el lado en diagonal que una al ángulo el cateto opuesto será la HIPOTENUSA. Cada lado tendrá un valor, ya sea letra, número, fórmula, etc., la cual solo se sustituirá en la fórmula de la función trigonométrica que se desee resolver.

Para mejor comprensión del tema, el siguiente video es de Funciones trigonométricas:


FUNCIONES TROGONOMÉTRICAS